금융공학은 통계학과 수학을 통해 금융의 다양한 문제들을 해결하려는 학문이다. 금융에서 발생하는 문제들은 대부분 파생상품과 관련된 것들이다.

파생상품은(derivatives)은 일반적인 상품, 즉 기초자산에서 파생된 상품이다. 기초자산은(underlying asset)은 주식, 채권, 통화와 같은 금융상품뿐만 아니라, 농축수산물 같은 상품(commodity)도 포함한다.

파생상품에는 선도(forwards), 선물(futures), 옵션(option), 스왑(swqp) 등이 있다.

파생상품의 가치(가격)는 기초자산의 가치변동으로부터 파생되어 결정된다.

금융공학은 주로 이러한 파생상품들의 가격 결정과 다양한 파생상품의 개발을 다루는 학문이다.

금융공학은 공부해서 뭐하게?

금융공학에서 다루는 파생상품은 미래의 거래 조건을 지금 결정해야 하는 거래와 관련되어 있다.

첫째는 미래에 발생할 리스크를 최소화하거나 피하기 위해서다(‘리스크를 헤지한다.’라고 표현 한다).

둘째는 돈을 벌기 위해서다. 미래에 발생할 거래에 대해 다른 사람들보다 좀 더 정확히 예측하고 좀 더 빨리 움직인다면, 남들보다 더 많은 돈을 벌 수 있다.

세계 금융시장을 뒤흔들었던 사건들과 그 사건의 배경에 있었던 파생상품 거래를 통해 금융공학이 제공하는 이점과 폐해에 대해 살펴보자.

서브프라임 모기지와 글로벌 금융위기

서브프라임 모기지 사태의 전말

𝟭 2000년 인터넷 버블이 꺼진 후 저금리가 유지되고 시장엔 유동성이 넘쳐났다.

𝟮 시장에 돈이 많아지니 주택 가격이 폭등했다.

𝟯 주택을 구입하고자 하는 소비자 심리 + 이자 수익을 위해 은행과 모기지 회사는 모기지 대출 (주택담보대출) 판매를 대폭 늘렸다.

𝟰 은행과 모기지 회사는 대출을 더 늘리기 위해 현금이 필요했다. 그래서 이미 판매한 모기지 대출을 유동화하기 위해 모기지 대출을 증권화해 판매한다. 이러한 증권을 모기지 유동화 증권(RMBS, Residential Mortgage Backed Securities)이라고 한다.

𝟱 투자은행과 은행은 RMBS를 매입하고 금융공학을 활용해 RMBS를 기초자산으로 한 부채담보부증권(CDO, Collateralized Debt Obligation)을 발행한다. CDO를 팔아 현금을 챙긴 후 또 다른 CDO를 매입하고 다시 유동화해 CDO를 발행하고 현금을 확보하는 행위를 반복한다. 수익률이 좋았기 때문이다.

𝟲 보험회사도 끼어든다. CDO가 쓰레기가 되더라도 투자금액을 보장해주는 보험 상품, CDS(Credit Default Swap)를 개발해 판매한다.

𝟳 은행과 투자은행은 CDO를 구입하면서 CDS도 함께 구입하게 된다. 이를 합성 CDO(Synthetic CDO)라고 한다. ‘보험까지 들어있는 안전한 고수익 파생금융상품’인 것이다.

𝟴 주택시장 버블이 꺼진다. 모기지 대출에 대한 연체가 발생하기 시작한다. 특히 신용 등급이 낮은 서브프라임 모기지 대출의 연체율이 치솟는다.

𝟵 서브프라임 모기지 대출의 연체율 치솟자, 이를 기초자산으로 한 RMBS, CDO가 쓰레기가 된다.

𝟭𝟬 쓰레기가 워낙 크다 보니, CDS 보험을 들었더라도 보험회사가 대신 지불해줄 수 없는 상황이 되었다. 이제 모두 불행해졌다.

𝟭𝟭 모기지 대출로 구입한 사람들은 주택 가격 하락과 대출금 연체로, 모기지 대출을 판매한 은행과 모기지 회사는 원금과 이자를 회수하지 못해서, RMBS와 CDS에 투자한 은행과 투자은행은 투자 손실로, CDS를 판매한 보험회사는 쓰레기가 된 CDO에 대해 지불해질 돈이 없어서 불행해졌다.

이것이 ‘리스크 헤지’가 아닌 ‘이익 추구’를 목적으로 하는 금융공학이 만들어낸 재앙의 전모다.

LTCM 파산

LTCM(Long Term Capital Management)은 살로만 브라더스에서 채권 거래 책임자로 있었던 존 메리웨더가 1994년에 설립한 헤지펀스로서, 이 회사를 통해 메리웨더는 시장에서 내로라하는 트레이더들과 학계의 저명인사들을 아우르는 세계적인 네트워크를 구축하게 된다.

LTCM의 기본 전략은 다른 헤지 펀드들과 마찬가지로 무위험 차익거래였다. 시장에서 형성되는 가격의 불일치를 찾아내어 저평가된 자산을 매수하고 고평가된 자산을 매도하는 전략이다.

무위험 차익거래를 통한 수익률은 아주 낮았기 때문에, LTCM은 고수익을 위해 높은 수준의 레버리지를 추구하게 된다.

LTCM은 그들의 거래량이 워낙 방대해 유동성 문제를 발생시킬 가능성이 있다는 사실을 과소평가함으로써 위기를 자초한다.

LTCM 문제의 궁극적 원인은 금융시장이 불안해지기 시작하면서 전 세계 채권시장의 투자자들이 좀 더 안전한 투자처를 찾아 자금 이동을 시작했다는 사실이다. (러시아가 루블화를 평가절하하고 부채 135억 달러에 대해 모라토리엄을 선언함)

LTCM은 수익률이 좋은 회사채를 매입하고 이에 대한 헤징 전략으로 상관관계가 높은 미 재무성채권을 매도한다. 이렇게 함으로써 회사채 수익률이 오르든 내리든 간에 일정 정도의 수익을 보장받을 수 있게 된다.

이론과 달리 시장에서는 채권시장의 불안정성이 커지면서 회사채에 대한 채무 불이행 리스크가 불거지고, 이러한 현상은 회사채와 미 정부채 사이의 강한 상관관계를 무너뜨리기 시작했다.

LTCM이 추구한 수익 구조는 상당히 비대칭적이었다. 즉, 어느 한쪽으로 시장이 움직일 때, 다른 쪽으로 시장이 움직이는 것에 비해 과다한 이익이나 손실을 기록하는 수익 구조엿다.

한 가지 더 짚고 넘어가야 할 문제는 금융시장의 위기와 도미노 효과였다. LTCM만 위와 같은 거래 전략을 구사했었더라면, 실제로 전 세계 금융시장이 공황 상태로 치닫지는 않았을지도 모른다.

(전체적으로 정확히 이해하지 못했다.)

베어링 은행 파산

숏 스트래들 전략, 콜옵션과 풋옵션을 매도함으로써 서로 이익과 손실을 상쇄시킴으로써 주가가 일정 범위 안에 들어올 되는 수익을 얻게 되는 전략이다.

상당히 위험한 전략이다. 지수 변동이 심하면 손실은 무한대로 커질 수 있다.

리슨은 일본 닛케이 지수를 기초자산으로 풋옵션과 콜옵션을 동시에 매도하는 전략을 취했다. 그런데 고베 지진이 발생하면서 손실이 발생했다.

블랙 먼데이와 파생상품

발원지인 홍콩과 호주에서 40% 이상 주가가 하락했고, 스페인, 영국, 미국, 캐나다 등에서 20% 이상의 시가 총액이 허공으로 사라졌다. 미국은 다우존스 지수가 22.61% 하락하며 1914.12.12 24% 주가 하락 이후 최대의 하락폭을 보인 날이었다.

외부 충격에 금융시장 기능이 마비되었다는 점에서 금융시스템의 안정성에 의문을 제기한 세기의 사건이었다.

블랙 먼데이를 야기시킨 주범으로 시장 심리, 유동성과 함께 무위험 차익거래와 포트폴리오 보험이라는 파생상품 거래가 항상 거론된다.

당시 횡행하던 무위험 차익거래 - 주가지수와 주가지수 선물 간 가격 불일치가 발생하면 프로그램 매매를 성사시켜 이득을 취하는 방식이 주된 원인으로 지목된다.

포트폴리오 보험 관련한 설명도 한다. 주식과 채권을 합성하는 식으로 변동성을 줄이는 데, 주식을 매수하고 풋옵션도 매수하는 것과 동일한 효과를 낸다.

거시경제적 요인을 주 원인으로 꼽기도 하고(프로그램 매매는 당시 주로 미국에서 행해졌다), 선진국의 통화정책 붕괴, 미국과 유럽의 채권시장 붕괴가 주 원인으로 꼽기도 한다. 이자율과 채권, 주식 간에는 깊은 상관관계가 있기 때문에 타당한 주장이다.

블랙숄즈냐, 블랙홀이냐

블랙숄즈 방정식

파생상품의 가격을 논리적으로 결정하는 유용한 툴이라는 점과, 그 제약조건도 명확하다

파생상품의 만기가 도래하기 전에도 합리적인 가격으로 거래가 이루어진다는 장점

하지만 실제 상황에서 남용되거나 남용될 가능성이 농후하다.

시장이 성장하면 성장할수록 점점 모호한 가치와 리스크가 수반되는 복잡한 파생상품이 지속적으로 만들어졌다.

자세한 알고리즘은 퀀트들에게만 맡겨진 상태에서 의사결정을 맡은 경영자들은 시장 상황의 변화에 파생상품의 가치가 어떻게 반응하는지에 대해 깊은 주의가 필요하다는 사실을 점점 망각하게 되었다.

가정들이 지나치게 단순하기도 하다.

기초자산의 움직임을 예측하는 평균과 표준편차가 분석기간 동안 변하지 않는다는 가정, 거래비용이 없다는 점, 언제든지 사고 팔 수 있다는 가정들이 현실과 동떨어져 있다.

블랙 먼데이, 서브프라임 모기지 사태 등 극단적인 변동 가능성을 극히 미미하게 가정한 것 자체가 큰 오류이다.

빅데이터, 금융공학 이론의 종말 선언인가

2008년 크리스 앤더슨은 그의 저서 『이론의 종말』에서 빅데이터 분석을 통해 기존의 전문가나 전통적인 가설검증 방식보다 훨씬 유용하고 정확한 결과를 파악할 수 있다고 주장했다.

빅데이터의 등장은 금융계의 전략까지도 바꿔놓고 있다.

빅데이터의 등장으로 고객들은 자신들의 투자철학이나 가이드라인에 맞도록 좀 더 세분화되고 특화된 벤치마크 지표를 요구하고 있다.

주식시장에서도 빅데이터는 화제다. 워릭대, 런던대, 미국 보스턴대 과학자들은 2004년부터 2011년까지 구글 데이터 분석을 통해 주가 예측이 가능하다는 논문을 발표했다.

! 아무리 많은 정보가 축적되어도 정보 자체에 비대칭이 존재하고 잘못된 데이터로부터 발생하는 판단 오류의 가능성은 항상 존재하지 않을까?

! 보고 싶은 것만 보게 해주는 역효과를 나타낼 수도 있다.

영국의 천체물리학자 에딩턴은 데이터에 근거한 귀납적 주장은 실제를 왜곡할 수 있고, 발견하고 싶은 것만을 선택할 수 있는 위험이 있다고 지적한다.

2013 노벨경제학상과 금융공학

유진 파마, 라스 피터 핸슨, 로버트 쉴러 3명의 수상자가 선정되었다.

유진 파마 교수는 효율적 시장가설의 창시자다.

로버트 쉴러 교수는 경제학에 심리학을 접목한 행동경제학의 대가로 꼽힌다. 관련 저서: 『비이성적 과열』, 『야성적 충동』

라스 피터 핸슨 교수는 통계학에서 광범위하게 활용되는 일반적률법의 창시자로서 시장의 불확실성과 리스크를 구분하고, 시장의 효율성으로 인해 단기 예측은 불가능하지만 거시적·장기적 차원에선 주식가격이 펀더멘털 가치를 웃돌거나 밑돌 것이라는 예측이 가능하다는 쉴러의 주장을 통계학적으로 증명해냈다.

핸슨 교수는 파마와 쉴러의 ‘시장 효율성’에 대한 상반된 주장이 ‘낮은 수준의 논쟁’이라며 꼬집는다. 그는 “완전히 합리적인 투자자를 가정한 것은(파마) 실수이고, 그것이 실수라고 지적하는 것(쉴러)은 무의미하다.”며 “논점은 시장이 완전히 효율적으로 되는데 무엇이 얼마나 가로막고 있는가 하는 것”이라고 강조했다.

금융공학을 위한 기초통계학은 이 정도만 알면 된다

공부를 막 시작한 사람이 최소한 알아야할 기초 통계 지식

평균, 분산, 표준편차, 베르누이 시행, 이항분포, 정규분포, 브라운 운동 등이다.

표준편차는 기초자산 가격의 변동성을 의미한다. 파생상품 중 특히 옵션의 가격을 결정짓는 가장 중요한 변수다. 콜옵션이든 풋옵션이든 변동성이 커질수록 옵션 가격은 상승한다.

베르누이 시행은 결과값이 딱 두 가지만 존재하는 상황에서의 시행

이항분포는 ‘이것 아니면 저것인 분포’, ‘이것 아니면 저것’은 베르누이 시행과 같다. 즉 베르누이 시행을 여러 번 반복 시행해서 나타난 분포가 이항분포다.

이항분포를 따르는 확률변수의 시행 횟수를 무한정 반복하면(베르누이 시행을 무한정 반복하면) 정규분포가 된다.

정규분포에서 한 걸음 더 나아간 것이 바로 브라운 운동이다. 물리학에서는 작은 입자의 불규칙한 운동을 브라운 운동이라고 한다.

금융공학에서의 브라운 운동은 정규분포와 관련이 있다. 시간의 개념이 포함된 정규분포를 브라운 운동이라고 한다.

주식 가격을 예로 들면, 주식가격은 시간의 흐름에 따라 변하는데 특정한 두 시점 간의 주식가격 차이는 정규분포를 따른다는 것이다. 시간 간격이 클수록 주식가격 변화가 커진다는 것이 브라운 운동의 핵심이다.

선도는 뭐고, 선물은 또 뭘까?

선도

미래에 할 것을 지금 먼저하는 것. 미래의 특정 시점에 특정 가격으로 특정 상품을 서로 매매하기로 현재 시점에 약속하는 계약이다.

(밭떼기) 3개월 후의 배추 가격은 현재 배추 가격, 예년의 배추 가격 변동폭, 3개월이라는 시간변수 등을 감안해 결정된다.

(대지주와 소농) 미리 살테니 싼 값에 넘겨라 → 변동성이 사라졌으니 그에 대한 대가를 지불해라 선도거래의 가장 중요한 목적은 리스크 헤지(위험 회피)인데, 목적이 ‘돈 벌기’가 되면서 사회적 부작용을 초래한 사례. 돈을 버는 사람이 있으면, 반대로 돈을 잃는 사람이 분명히 있다. (물건을 사는 입장에서도 변동성이 사라질 때 장점이 분명히 있다.)

선물

선도거래와 똑같은 구조를 가지고 있다. 차이가 있다면, 선물거래가 더 ‘표준화’되어 있다는 것이다.

1. 거래되는 시장이 정해져 있다. 선도는 장외시장에서 양 당사자 간에 이뤄지지만, 선물은 다자 간에 거래된다.
2. 계약단위와 계약만기가 정해져 있다. 우리나라 선물 시장의 경우, 계약단위는 50만 원, 계약만기는 매 분기말(3, 6, 9, 12월)의 두 번째 목요일이다. (선도는 당사자 간 자유롭게 설정한다.)
3. 매일 정산해야 한다. 계약 불이행 위험이 없다.
4. 표준화되어 있어, 당사자들의 모든 원츠에 부합된 거래를 제공할 수 없다. (선도거래는 맞춤형 거래가 가능하다.)

옵션은 권리다

선택할 수 있는 것, 선택할 수 있는 권리

옵션을 사는 것은 옵션을 매수하는 것이고, 옵션을 파는 것은 옵션을 매도하는 것이다. 옵션 매수자는 옵션가격을 지불하고, 옵션 매도자는 옵션 매수가자 지불한 옵션가격을 수령한다.

(쇼핑몰 거래) 물건을 받아본 후 구매하기로 결정(옵션 행사) 이러한 경우 옵션 비용은 쇼핑에 들인 시간이다. 구매하지 않기로 결정했다면 옵션 가격은 쇼핑에 들인 시간과 반품 시 택배 비용이다.

콜 - 베팅을 받겠다. ‘사겠다.’

풋 - ‘두다’, ‘내려두다’, 권리를 내려두다. 가져가게 두다. ‘팔겠다’

옵션 가격은 어떻게 계산되고 결정될까? → 블랙숄즈 모델

블랙숄즈 모델로 계산된 옵션의 가격을 공정가격(fair price) 또는 이론가격이라고 한다. (옵션의 이론가격과 실제 시장가격 간의 차이를 이용해 차익을 실현하는 거래가 그 유명한 아비트리지(arbitrage)이다.)

블랙숄즈 모델의 핵심 내용

1. 옵션계약의 만기일이 가까워질수록 시장의 불확실성이 줄어들기 때문에, 시간의 흐름에 따라 옵션가격은 낮아진다.
2. 기초자산의 가격의 변화에 따라 옵션가격도 변한다.

등가격(at the money): 옵션의 행사가격이 기초자산의 가격과 같을 때 내가격(in the money): 기초자산의 가격이 옵션의 행사가격을 비교한 결과 이익일 때 외가격(out of the money): 기초자산의 가격이 옵션의 행사가격보다 비교한 결과 손해일 때

스왑은 음탕한 것이 아니다

스왑은 무언가를 교환하는 거래계약이다.

미래의 불확실성과 리스크를 최소화하기 위한 수단이다(스왑은 특히 그렇다).

일반적인 교환과 다른 점은 잠시 교환한다는 것이다.

스왑이라는 교환행위를 통해 모든 스왑 계약 당사자들의 리스크는 감소하고 편익은 커져야 한다.

금융시장에서 스왑거래의 기초자산은 주로 통화와 이자율이다.

통화스왑의 일반적인 거래 방식은 비교적 단순하다. 통화스왑 거래 개시와 함께 거래 당사자 쌍방이 원금을 교환하고, 거래기간 동안은 이자만 교환하다가 거래 종료와 함께 원금의 재교환이 이루어진다.

이자율스왑은 이자율을 교환하는 거래다. 예를 들면, 변동금리와 고정금리를 서로 맞바꾸는 것이다. 이자율스왑 거래를 위해서는 동일한 통화라는 전제조건이 있어야 한다. 통화는 교환되지 않고 이자율만 교환되기 때문이다. 그리고 교환의 대상이 되는 이자율은 주로 장기고정금리와 단기변동금리다.

스왑과 혼동될 수 있는 용어들

1. CDS(Credit Default Swap): 스왑이 아니고 보험이다.
2. 캐리 트레이드(Carry Trade): 통화의 교환이 아니라 ‘환전 투자’에 가깝다.

임진왜란 후의 일본

에도 시대의 경제는 전례를 찾아볼 수 없을 정도로 성장세를 구가하게 된다. 당시 일본은 사무라이가 군림하던 시대였는데, 이들은 주화 대신 직접 쌀을 봉급으로 받고 있었다.

오사카 지역을 중심으로 한 쌀 중개상들은 사무라이들이 처지 곤란한 쌀을 동전을 이용해 거래할 수 있게 하고, 심지어는 지폐를 만들어내기까지 함으로써 일본 시장경제의 주도권을 장악했다.

이러한 시장경제를 기반으로, 임진왜란이 끝난 지 정확히 100년이 흐른 1697년, 일본 쌀 중개상의 중심지인 오사카에 도지마 쌀 교환소가 설립됨으로써, 세계 최초로 근대적 개념의 선물 및 옵션거래를 시작했다.

선도거래

(사례) 주로 기업체들이 외환 리스크를 관리할 때 이용한다.

선도거래 가치는 어떻게 계산될까

무위험 차익거래가 발생하지 않기 위해서는 선도가격은 그냥 은행에 넣어놓고 이자만 받는 것과 같아야 된다.

선물거래

유동성이 풍부하다. 채무 위험이 없다. 거래비용이 대체로 낮다. 매일 손익을 실현해야 하기 때문에, 매일매일 재투자가 가능하고, 손실 분에 대해서는 대출을 받아야 하는 상태가 발생하기도 한다.

이자율이 만기까지 일정하다는 가정하에 선물가격은 선도가격과 같다는 사실을 1981년에 콕스, 잉거솔, 로스가 밝혀냈다.

옵션거래

‘권리가 주어진 파생상품’

옵션을 거래하는 이유

크게 도박과 리스크 관리로 나눌 수 있다.

A 회사의 주가가 현재 10만 원이고 11만 원에 그 주식을 살 수 있는 1개월 만기 콜옵션이 5,000원이라면, 100만 원을 가진 투자자가 투자할 수 있는 방법은 다음 두 가지가 있다. 단, 거래 비용 및 1개월 이내에 있을지도 모르는 배당은 무시하기로 한다.

1. 주식 10주를 산다. 한 달 후 주가가 15만 원으로 오르면, 투자자는 50%의 수익을 얻게 된다. 반대로 한 달 후 주가가 5만 원으로 떨어지면 50% 손실을 입게 된다.

2. 콜옵션을 200개 산다. 한 달 후 주가가 15만 원으로 오르면, (15-11) * 200 = 800만 원의 이득이 생긴다. 수익률은 { (800-100) / 100 } * 100 = 700%가 된다. 반면 주가가 11만 원보다 적으면 콜옵션은 아무런 가치가 없는 휴지 조각으로 변한다. (x-11) * 200 = 100 이기 위해서 x는 11.5 이므로, 최소 한 달 후 주가가 11만 5천 원이 되야 본전을 찾을 수 있다.

즉 옵션은 적은 자본으로 고수익을 창출할 수 있는 반면, 그만큼 리스크도 커지는 레버리지 효과를 갖는다.

하지만 옵션은 아주 기초적인 관리만 해줘도 안정적인 수익을 창출하는 효자가 될 수 있다. 만일 한 투자자가 어떤 회사의 주식을 갖고 있다고 할 때, 이 투자자는 콜옵션을 매도함으로써 다른 주식 투자자들보다 훨씬 안전하게 주식 투자를 할 수 있게 된다. 콜옵션을 매도했기 때문에 주가가 오르면 오른 만큼 대금을 지불해줘야 하지만, 이미 주식을 갖고 있으므로, 보유한 주식을 처분해 대금을 지불하면 되고, 주가가 하락하면 옵션은 무효가 되므로 옵션 매도금은 고스란히 자기 몫이 된다. 이렇게 주식을 보유하고 콜옵션을 매도하는 전략을 커버드 콜(Covered Call) 이라고 하며, 이 전략은 전 세계 옵션거래 중 거의 절반을 차지하는 것으로 알려져 있다. → 주가가 상승할 때 최대 수익이 정해지고(옵션 판매 수익), 주가가 하락할 땐 옵션 판매 수익으로 손실을 일부 상쇄시킬 수 있지만 그 외 손실은 각오해야 한다. 대신 리스크를 헤지할 수 있다.

옵션가격에 영향을 미치는 변수들

기초자산, 행사가격, 무위험 이자율, 기초자산의 변동성, 만기까지 기간, 배당 등이 있다.

1. 기초자산과 행사가격

   기초자산이란 옵션거래의 기본이 되는 자산을 의미한다.

   행사가격이란 옵션거래가 일어나는 가격을 의미한다. 앞선 콜옵션 예시에서는 11만원이 행사가격이다.

   기초자산과 행사가격의 차이를 옵션의 본질가치(Intrinsic Value)라 한다.

2. 이자율

   일반적으로 이자율이 상승하면 할인율이 상승해 기업들의 현금 흐름의 현재가치가 줄어들기 때문에 이자율은 주가와 반대 방향으로 움직이는 것으로 알려져 있다.

   그런데 옵션거래에서는 이자율과 주가가 양의 상관관계를 갖고 있다고 가정한다. 왜냐하면 이자율이 상승하더라도 ‘단기간’에 이자율 변동이 기업의 현금 흐름에 영향을 미치지 않는 반면, 투자자들은 항상 이자율보다 일정 수준 높은 주가수익률을 기대하기 때문이다.

   옵션에서는 이자율이 상승하면 주가가 상승해 콜옵션가치는 올라가고, 이자율이 하락하면 주가가 하락해 풋옵션가치가 올라가는 것으로 가정한다.

3. 변동성

   옵션가격을 결정짓는 가장 중요한 요소, 통계학적으로는 표준편차를 의미한다. 기초자산의 가격이 오르거나 내리는 정도를 나타내는 척도다.

   옵션은 콜옵션이든 풋옵션이든 주가가 급등락하면 가치가 올라간다. 변동성이 증가할수록 옵션을 행사할 가능성이 높아지기 때문이다.

   옵션을 분석하고 거래할 때 내재변동성을 반드시 체크해야 한다. 내재변동성(Implied volatility)이란 옵션가격이 주어졌을 때 그 속에 내포되어 있는 변동성을 의미한다.

4. 배당

   일반적으로 배당을 하면 주가는 배당만큼 하락하게 된다. 따라서 배당이 주어지면, 주가가 하락해 콜옵션의 가치는 떨어지고, 풋옵션의 가치는 상승한다.

옵션의 본질가치

콜옵션의 본질가치: 기초자산의 가격 - 행사가격

풋옵션의 본질가치: 행사가격 - 기초자산의 가격

옵션의 시간가치

옵션은 행사할 권한만 있고 의무는 없으므로 미래의 불확실성에 대해서도 값을 지불해야만 한다.

옵션을 매도하는 사람은 미래 불확실성에 대한 대가가 옵션가격에 포함되기를 원할 것이다. 따라서 옵션의 가치는 위에 살펴본 본질가치 외에 시간가치가 포함되어야 한다.

만기일이 멀수록 불확실성이 커지므로, 시간가치는 커지게 된다. 반대로 만기일이 가까울수록 시간가치는 급격히 소멸하게 된다.

시간가치는 옵션의 행사가격이 현재의 주가 근처에 있을 때 가장 크고, 현재의 주가보다 상당히 높거나 낮을 때 가장 작게 된다. 그 이유는 미래의 주가가 어느 방향으로든 움직일 가능성이 크기 때문이다. 반면 행사가격이 현재의 주가보다 상당히 높거나 낮을 때에는 미래에도 주가가 행사가격 수준까지 하락하거나 상승할 가능성이 그리 높지 않을 것으로 보기 때문에, 시간가치가 상대적으로 낮게 된다.

일반적인 옵션의 종류

원칙적으로 세상에 존재하는 모든 변수를 기반으로 옵션을 만들 수 있다. 문제는 그런 기초자산의 변화를 얼마나 쉽고 합리적인 기준으로 계량화할 수 있느냐에 달려 있다.

1. 유러피언 옵션과 아메리칸 옵션

   유러피언 옵션은 만기에만 권리를 행사할 수 있는 옵션이다. (ex. KOSPI200 지수 옵션, S&P500 지수 옵션)

   아메리칸 옵션은 만기 전에는 언제라도 권리를 행사할 수 있는 옵션이다. (ex. 한국의 국채선물 옵션 S&P100 지수 옵션, 대부분의 스톡옵션)

2. 디지털 옵션

   옵션 행사 시 기초자산의 가격이 행사가격보다 높으면 일정 금액을 받고, 그렇지 않으면 아무것도 못 받는 옵션이다.

   유러피언 옵션과의 차이점은 이익금액이 정해져 있다는 것이다.

3. 다운 앤 아웃 옵션과 업 앤 인 옵션

   다운 앤 아웃 옵션은 기초자산의 가격이 일정 가격 이하로 내려가면 옵션이 무용지물이 되는 옵션이다. 마찬가지로 기초자산의 가격이 일정 가격 이상이 되면 비로소 효력을 발휘하게 되는 옵션을 업 앤 인 옵션이라고 한다.

   국제 장외시장의 통화 거래에서 자주 쓰이는 옵션이다.

4. 스프레드 옵션

   스프레드 옵션은 옵션의 이익 패턴이 두 개의 서로 다른 기초자산의 가격 차이에 의존하는 옵션이다.

5. 아시안 옵션

   특정 기간 동안 기초자산 가격의 평균을 기준으로 가격이 계산되는 이익 패턴을 가진 옵션이다.

6. 버뮤단 옵션

   옵션 만기까지의 기간 중 정해진 특정 기간에만 권리를 행사할 수 있는 옵션을 말한다.

7. 룩백 옵션

   옵션의 이익 패턴이 특정 기간 동안의 기초자산 가격의 최대치와 최소치에 따라 달라진다.

   • 룩백 콜옵션: 만기가치 = 만기 시 주가 - 옵션기간 동안 주가의 최저가(행사가격)

   • 룩백 풋옵션: 만기가치 = 옵션기간 동안 주가의 최고가(행사가격) - 만기 시 주가

이 외에도 샤우트 옵션, 포워드 스타트 옵션, 컴파운드 옵션 등 이색 옵션의 수는 무한히 많이 존재한다.

기초자산에 따른 옵션의 종류

1. 지수 옵션

   우리나라 선물 및 옵션 시장은 기초자산이 KOSPI200 지수다. 즉 KOSPI200 지수의 등락에 따라 옵션의 가치가 변하는 시장인데, 이러한 옵션을 지수옵션이라 한다.

   미국의 경우 지수 옵션을 거래하는 거래소로는 시카고옵션거래소, 필라델피아거래소, 아메리칸증권거래도 등이 있다.

2. 개별주식 옵션

   개별주식의 주가를 기초자산으로 하는 옵션거래다.

3. 선물 옵션

   2002년 7월부터 한국에서 거래되기 시작한 국채선물 옵션이 한 예로서, 기초자산이 현물 대신 선물인 옵션을 의미한다.

4. 통화 옵션

   어떤 국가의 통화를 기초자산으로 해서 만들어진 옵션을 통화 옵션이라고 한다.

   통화 상대국의 이자율이 주가지수 옵션의 배당률과 같은 역할을 한다.

어떻게 가격을 매길 것인가

피셔 블랙과 마이런 숄즈의 블랙숄즈 방정식은 어떤 방정식이길래 금융공학의 패러다임을 바꿔놓았을까?

공짜는 없다.

어떠한 파생상품도 절대로 희생을 치르지 않고서는 원하는 바를 얻을 수 없다는 것이 블랙숄즈 방정식이 갖고 있는 기본 전제다. 그래서 블랙숄즈 방정식을 도출된 가격을 공정가격이라고도 부른다. 좀 더 정확히 말하자면, 블랙숄즈 방정식은 현재까지 발표된 방정식 중에서 공정가격에 가장 가까운 가격이라고 표현하는 게 맞다.

블랙숄즈 방정식은 주가와 시간이라는 두 개의 변수로 미분한 형태이며, 그래서 편미분방정식이라고 부른다.

파생상품은 계약만기일이 다가올수록 불확실성이 줄어들기 때문에 시간이 흐를수록 가격이 낮아질 것이다. 또한, 기초가격의 변화에 따라 파생상품의 가격은 변하게 된다. 이러한 두 가지 상식을 기반으로 블랙과 숄즈는 아래와 같은 개념의 방정식을 발표했다.

“시간과 기초자산의 변화에 따른 파생상품 가격의 변화는 무위험 상품(은행예금 또는 채권) 투자와 같다.”

본질적으로 블랙숄즈 방정식은 실물경제에서 만들어지는 많은 상품들이 ‘공정한’ 가격으로 거래될 수 있도록 도와주는 것이 기본 역할이다.

블랙숄즈 방정식

블랙숄즈 방정식은 정규분포로부터 유도된다. 이전 장에서 살펴본 시간이 포함된 정규분포인 브라운 운동 공식을 되새겨보자. 수식이 깨진다면 클릭 \[\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

\(S\) 를 주식이라는 기초자산이라고 정의하면, 주가 변화는 평균이 \(\mu dt\) 이고 표준편차가 \(\sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\) 인 정규분포를 따른다고 할 수 있다. ( \(\frac{dS}{S} = \frac{S_{t+1} - S_{t}}{S_{t}}\) )

기초자산은 정규분포를 따른다는 가정과 함께 평균과 표준편차까지 구했다.

블랙숄즈 방정식의 숨은 공로자 키요시 이토

키요시 이토는 금융수학 및 확률론에 지대한 영향을 미쳤는데, 특히 블랙숄즈 방정식을 만드는 데 결정적인 수리적 근거인 이토 렘마를 1951년에 발표했다.

렘마(lemma)는 우리말로 보조정리라고 번역되는데, 어떤 정리를 증명하기 위해 설정되는 예비적인 정리를 말한다.

이토 렘마의 핵심 개념은 기초자산의 함수를 알면 파생상품의 함수를 구할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 주가가 브라운 운동을 따르면 주가를 기초자산으로 하는 파생상품도 브라운 운동을 따른다는 것이다.

이토 렘마는 아무리 복잡한 파생상품의 가치도 기초자산의 행동 패턴만 알면 계산해낼 수 있다는 점에서 금융공학에서는 가장 중요한 이론 중 하나로 평가되고 있다.

주식 같은 기초자산의 행동 패턴은 이미 살펴본 바와 같이 다음과 같다. \[\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

주식을 기초자산으로 하는 임의의 파생상품 \(V\) 의 행동 패턴은 이토 렘마에 의해 다음과 같이 표현된다. \[dV = (\mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2})dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

즉 기초자산과 시간의 함수로 표현되는데 테일러 확장이라는 기법을 써서 도출했기 때문에 복잡해 보이긴 하지만, 평균이 \(\mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\) , 표준편차가 \(\sigma S \frac{\partial V}{\partial S}\) 인 정규분포를 따른다는 간단한 개념이 그대로 적용된다. 위 수식을 외우는 것은 무의미하다. 각각 주식과 파생상품의 행동 패턴을 보여주는 위 두 개의 연립방정식을 풀면, 다음과 같이 그 유명한 블랙숄즈 방정식이 도출된다는 사실만 기억하자. \[\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} = rV\]

\(\partial V\) : 파생상품 가격 변화

\(\partial t\) : 시간의 변화

\(\partial^2 V\) : 파생상품 가격 변화 속도

\(\partial S^2\) : 기초자산의 변화 속도

\(\frac{\partial V}{\partial S}\) : 기초자산 매수 비율

첫째 항목 \(\frac{\partial V}{\partial t}\) 는 시간이 변할 때 파생상품 가치가 변하는 정도를 나타낸다(만기가 가까울수록 파생상품 가치는 줄어든다).

두 번째 항목 \(\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\) 는 기초자산 기초 자산 \(S\) 의 등락폭(변동성)에 따라 파생상품 가치가 변하는 정도를 나타낸다. 이것을 금융공학에서는 감마라고 하는데, 주가 등락폭이 커지면 콜옵션이든 풋옵션이든 행사 가능성이 높아지므로 파생상품 가치는 증가한다.

마지막으로 \(rS\frac{\partial V}{\partial S}\) 는 \(\frac{\partial V}{\partial S}\) 분량만큼 기초자산을 사서 은행에 넣어두는 가치다. 오른쪽 항목인 \(rV\) 는 파생상품을 사서 만기까지 은행에 넣어뒀을 때 받을 수 있는 이자다.

정리하면, 파생상품의 가치는 ‘일정 정도의 기초자산을 사서 은행에 넣어두고 받는 이자’와 ‘시간과 기초자산 변동성 변화에 따른 파생상품의 가치변화’를 더한 것과 같다.

기초자산이 주식인 경우를 예로 들면, 옵션의 가치는 ‘주식 수익률’에 ‘옵션가격에 영향을 미치는 시간과 주식 변동성을 감안’한 것과 같다는 것이다.

블랙숄즈 방정식은 이 당연한 상식을 편미분방정식으로 표현함으로써, 처음으로 파생상품 가격의 ‘닫힌 해’를 구했다는 점에서 큰 의미를 지닌다.

블랙숄즈 모형의 기본 가정들

블랙숄즈 모형에서 옵션가격에 영향을 미치는 변수에는 여섯 가지가 있다.

1. 현재 주가
2. 행사 가격
3. 이자율
4. 변동성
5. 만기까지 남은 시간
6. 배당 등 기타 주가에 영향을 미치는 요인

이 중에서 배당을 제외한 다섯 가지 변수에 대해서는 그 변수의 변화에 따른 파생상품 가격의 변화 정도를 고유 용어(델타, 감마, 쎄타 등)를 써서 표현하기 때문에, 개념 정도는 알아두는 것이 금융공학을 전공하는 사람뿐만 아니라 일반인에게도 유용한 경우가 꽤 많다.

델타, 기초자산의 변화에 따른 파생상품의 변화량

예를 들어, 주가가 100달러에서 101달러로 소폭 움직일 때, 옵션가격이 10달러에서 10.5달러로 변동된다면 델타는 다음 공식에 의해 0.5가 된다. \[\Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = \frac{10.5 - 10}{101 - 100} = 0.5\]

델타가 0.5라는 것은 옵션가격의 변화가 주가 변동량의 50%라는 의미이다. (주가 대비 옵션가격이 얼마나 변하는가?)

델타 헤지

델타 헤지란 델타를 이용해 주가의 움직임에 따른 리스크를 없애는 방법이다. 위의 예에서 주식 1주를 매도한 투자자가 주가의 상승에 따른 위험을 방지하고자 하는 경우, 콜옵션 두 개를 매수하면 헤지할 수 있다. 주가가 하락하더라도 옵션 가격이 함께 하락하므로 이익을 창출할 수 없게 된다. 즉 델타 헤지를 통해 이익과 손실이 서로 상쇄된다.

감마, 구부러진 부분을 주의하라

옵션은 선물괄리 주가에 비선형 관계를 가지고 있다. 감마는 이런 비선형적 요소를 제어할 수 있는 도구다.

델타가 주가와 옵션가격 간의 선형적 관계를 나타내는 지표라면, 감마는 선형적 관계로 파악할 수 없는 2차 비선형 관계를 파악하는 지표라고 이해하면 된다. 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[\gamma = \frac{\partial\Delta}{\partial S}\]

즉, 주식가격의 변화에 따른 옵션 델타의 변화율을 의미한다.

이자율에 따른 가격 변화

로(Rho)란 이자율 변화에 대한 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다. \[\rho = \frac{\partial C}{\partial r}\]

이자율과 옵션가격은 비례한다.

표준편차의 변화에 주목하라

베가(Vega)란 변동성(표준편차) 변화에 대한 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다. \[Vega = \frac{\partial C}{\partial\sigma}\]

시간의 가치, 쎄타

쎄타(Theta)란 시간의 변화에 따른 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다. \[\theta = \frac{\partial C}{\partial t}\]

블랙숄즈 모형의 허점들

1973년 블랙숄즈 모형이 발표될 때 언급했던 네 가지 비현실적인 가정들

1. 주가의 표준편차는 알려져 있고 만기까지 일정하다.

   표준편차를 구하는 기간을 과거 언제부터 거슬러 올라가서 계산할 것인가?

2. 주식가격은 급등락하지 않는다.

   이는 주가가 로그정규분포를 따른다는 것을 의미한다.

   하지만 실제로는 블랙 먼데이, LTCM 파산, 9.11 테러, 2008 글로벌 금융위기, COVID 펜데믹 등의 큰 사건들이 종종 발생한다.

3. 단기 이자율은 변하지 않는다.

   이 부분은 채권 부분(5장)에서 자세히 다룬다.

4. 무위험 차익거래는 발생하지 않는다.

   아니다.

블랙숄즈 모형의 실제 적용에서는 명확히 한계를 인식하고 이에 맞는 거래 모델을 구성해야 한다.

블랙숄즈 방정식은 금융위기의 주범인가

블랙숄즈 모델에 문제가 있는지에 대해서는 논란이 있을지라도 인간의 욕망이 화를 불렀다는 사실만큼은 확실하다. 리스크를 감수하고서라도 남들보다 더 많이 챙기려는 욕구 말이다.

그래도 바퀴를 되돌릴 수는 없다

지난 시기에 금융공학이 제공했던 혜택들과 실수들, 그리고 교훈들을 철저히 파헤치고 개선하는 것만이 현재 고려할 수 있는 유일한 길이다.

블랙숄즈 방정식이 필요 없는 옵션가격 계산법

아메리칸 옵션이나 버뮤단 옵션처럼 유연하게 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션 모델은 1979년 존 콕스, 스테판 로스, 마크 루빈스타인이 이항모델(이항옵션모형)을 활용한 옵션 가격 모델을 발표하면서 모델의 탁월한 유연성에 힘입어 응용 분야가 급속도로 확산된다.

모든 옵션은 주식과 채권을 합성해 만들 수 있다.

옵션이라는 게 하늘에서 뚝 떨어진 것이 아니고 기존에 있던 상품들의 가치를 반영해 파생된 상품에 불과하다는 것이 이 모형의 기본 출발점이며, 주식과 채권을 합성하면 옵션가격을 구할 수 있다는 것이 그들의 생각이었다.

주식과 채권이 있다. 채권은 현재 100원이고, 1년 후에도 100원이다. 주식은 현재 50원이지만 1년 후 100원이 될 수도 있고, 25원이 될 수도 있다고 가정하자.

이 때, 이 주식과 채권을 합성해서 행사가격이 50원인 콜옵션을 만들려면 어떻게 해야할까?

주식의 비율을 \(\alpha_S\) 라 하고, 채권의 비율을 \(\alpha_B\) 라고 하면

주식이 오를 때는 파생상품 가치가 50원이 되므로 다음과 같이 되고 (시간, 변동성에서 오는 프리미엄은 고려하지 않는다고 가정하고, 옵션이라 권리만 있으므로 행사가격과 오른 경우 가격이 같아야 한다고 이해했다), \[50 = 100\alpha_S + 100\alpha_B\]

주식이 내릴 때는 다음과 같아야 한다. \[0 = 25\alpha_S + 100\alpha_B\]

두 개의 연립방정식을 풀면, \(\alpha_S\) = 2/3, \(\alpha_B\) = -1/6이 된다. 즉 주식의 비중을 +2/3으로 하고, 채권의 비중을 -1/6으로 하면 원하는 파생상품을 얻게 된다.

현재 시점에서 주식은 50원, 채권은 100원이므로 이렇게 합성한 콜옵션의 가격은 50✕2/3+100✕(-1/6)=16.6666… 원이 된다.

위에서는 단 한번의 시행이 있는 것으로 가정했지만, 이러한 시행을 \(n\) 번 반복할 수 있는 것이 이항옵션모형이다. 이 \(n\) 을 무한히 반복하면 통계학에서 다루는 중심극한정리에 의해 이항옵션모형의 결과값과 블랙숄즈 모형의 결과값이 같게 된다.

시장에서는 어떻게 파생상품 가격이 공정하다는 것을 알게 될까

만약 어떤 파생상품의 이론적인 가격보다 실제 가격이 싸거나 비싸다면 무위험 차익거래가 가능하다. 트레이더들은 이러한 기회를 가만히 두지 않고 싼 경우 사들이고 비싼 경우 팔 것이다. 그러면서 자연스럽게 이론적인 공정가격으로 수렴하게 되는 효과가 생긴다.

주가 모형, 내일의 주가를 어떻게 예측할 것인가

효율적 시장 가설에 따르면, 주가는 랜덤 워크 모델(Random Walk Model)을 따른다고 한다.

랜덤 워크 모델을 이용해서 주가 모형을 만들어보면 다음과 같다. \[S_{t+1} = S_t + \varepsilon_{t+1}\]

즉, \(t+1\) 기의 주가는 \(t\) 기의 주가와 아무도 방향을 예측할 수 없는 오차항의 합으로 이루어진다는 뜻이다. 여기서 \(\varepsilon_{t+1}\) 은 평균이 0이고 분산이 \(\sigma^2\) 인 정규분포를 따르는 것으로 가정한다.

이럴 경우 주가가 마이너스 값을 가질 수 있는 문제가 생긴다. 주가가 정규분포를 따른다고 가정했기 때문에 정규분포의 좌우대칭 속성에서 비롯되는 것이다.

그렇다면 주가수익률을 이용하면 어떨까?

이것을 연속형으로 바꿔주기 위해서는 자연로그를 취해주면 된다.

이 주가수익률이 정규분포를 따른다고 가정하고 주가 모형을 만들어보면 다음과 같다. 주가의 기대수익률을 \(\mu\) 라 하고 \(\varepsilon\) 을 랜덤 워크 모델이라 하면 다음과 같다. \[r_{r+1} = \ln{ ( \frac{S_{t+1}}{S_t} ) } = \mu + \varepsilon_{t+1}\]

여기서 \(\varepsilon_{t+1}\) 은 평균이 0이고 표준편차(책의 오타같다. 분산이 맞는 것 같다)가 \(\sigma^2\) 인 정규분포다. 이것을 다른 말로 표현하면, 주가수익률은 평균이 \(\mu\) 이고 표준편차가 \(\sigma\) 인 정규분포를 따른다고 할 수 있다.

마지막 수식을 다시 표현해보면 다음 식과 같다. \[\ln{S_{t+1}} = \ln{S_t} + \mu + \varepsilon_{t+1}\]

즉 주가에 로그를 취한 모형은 주가의 랜덤 워크 가정을 만족하면서, 주가가 마이너스 부호를 갖는 문제를 없애준다. 이처럼 자연로그를 취해주면 정규분포가 되는 분포함수를 로그정규분포라고 한다. 주가 자체는 로그정규분포를 따르고, 주가수익률은 정규분포를 따르게 되는 것이다.

주가 등락폭에 주목하라

앞서 확인한 바에 따르면, 결국 주가 모형은 에러항이 어떤 형태를 띠고 있는가에 따라서 결정된다. 아주 짧은 구간에서는 기대수익률이 무의미하고, 오직 변동성(또는 표준편차)만으로 주가를 설명할 수 있게 된다. 즉 파생상품 가격은 주가의 등락폭을 얼마나 잘 정의해서 구하느냐가 관건이다. 금융공학에서는 이를 확률과정이라는 개념을 이용해서 풀게 된다.

위너 프로세스는 간단히 정리하면 다음과 같다. 만약 \(\varepsilon\) 의 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 따른다고 하면, 아주 짧은 구간 \(\Delta t\) 에서 주가 변화량 \(\Delta z\) 는 다음과 같은 성질을 갖게 된다.

성질 1. \(\Delta z = \mu\sqrt{\Delta t}\) , 기간(\(\sqrt{\Delta t}\))이 짧으면 짧을수록 주가변화량(\(\Delta z\))은 제로(0)에 가깝고, 기간이 길면 길수록 그 비율은 시간의 제곱근에 비례해 커진다.

루이 바슐리에가 주장한 이론이며, 후에 오스본이 통계학적으로 증명하는 데 성공했다.

성질 2. 서로 다른 두 구간의 \(\Delta z\) 는 서로 독립적이다. 즉 특정 구간의 주가 변화량이 다른 구간에서의 주가 변화량에 영향을 미치지 않는다.

어제의 주가 방향이 오늘의 주가에 영향을 미친다고하면 랜덤 워크 가정에 위배된다.

미래 상황은 과거 상황과 독립적이라는 가정은 통계학 용어로 메모리리스라고도 한다.

기대수익률과 변동성의 결합

분석 기간이 길때는 평균 기대수익률이라는 항목을 포함시켜야 한다. 연간 기대수익률을 \(\mu\) 라 하고 연간 표준편차(또는 변동성)를 \(\sigma\) 라 하면, 앞에서 배운 주가의 기대수익률 모델과 변동성 모델을 결합해 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

우변은 평균이 \(\mu dt\) 이고, 표준편차가 \(\sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\) 인 정규분포를 따른다.

좌변은 미적분 개념으로부터 \(d\ln{S}(=\frac{dS}{S})\) 와 같으므로, \(\frac{dS}{S}\) 대신에 \(d\ln{S}\) 를 이용해서 앞 수식을 다시 표현하면 다음과 같다. \[d\ln{S} = \ln{S_t} - \ln{S_0} = \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\] \[\ln{S_t} = \ln{S_0} + \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

즉 주가에 자연로그를 취한 형태가 되는데, 자연로그를 없애기 위해 양변에 지수함수를 취해주면 \(S_t = S_0 e^{\mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}}\) 가 된다. 이 사실로부터 주가는 로그정규분포(로그를 취하면 정규분포가 되는 분포함수)를 따른다는 사실이 도출된다.

파생상품의 핵심, 변동성을 공략하자

역사적 변동성은 ‘변하지 않는 변동성’을 과거 어느 기간을 기준으로 계산할 것인가라는 현실적인 문제에 봉착하게 된다.

이 문제를 풀기 위해 나온 방법 중 하나가 ‘주어진 옵션가격을 이용해서 그 속에 내포된 변동성을 역산하는 방법’인데, 이렇게 옵션에 내재된 변동성을 내재변동성이라고 한다.

미소에 현혹되지 말자

(이론적 변동성과 실제 옵션가격의 변동성의 차이)

변동성은 시간에 따라 끊임없이 변하고, 또한 기초자산의 가격 변화에 따라서도 서로 다른 것으로 알려져 있다. 실제 거래되는 옵션의 변동성을 계산해보면 옵션 행사가격 주변에서는 항상 미소 짓는 형태를 띤다. 그래서 ‘변동성 스마일’이라고 한다.

등가격에서 변동성이 가장 작아지고, 등가격에서 멀어질수록 변동성이 커진다.

블랙숄즈 모형을 이용해 옵션가격을 계산하면 등가격에서는 변동성이 높은 것으로 착각해(이론적 변동성이 실제 변동성보다 높다고 착각한다는 말 같다.) 옵션 가격이 과대평가되고, 외가격이나 내가격에서는 과소평가되는 오류가 발생한다.

변동성 스마일은 통화 옵션에서 가장 뚜렷하게 나타난다. 환율은 일반적으로 주가보다 등락폭이 더 큰 것으로 알려져 있다.

주식 옵션의 변동성은 한쪽을 치우친 미소 형태의 변동성을 띤다. 이것을 변동성 스큐(Volatility Skew)라고 한다. 실제 주식 시장에서는 심리적 요인이 상당히 많이 작용하는 것이 사실이기 때문이다. 대부분의 투자자들은 주식을 사서 돈을 벌려고 하지 주식을 팔아서 돈을 벌려고 하지 않는다. 이 단순한 현실이 변동성을 웃거나 한쪽으로 미소 짓게 만드는 원인이다. (풋옵션 매수와 콜옵션 매도가 시장에서 더 많이 거래된다.)

마지막으로 변동성은 옵션 만기에 따라 달라지기도 한다. 옵션 만기가 길수록 사소한 변동성이 상쇄되어 사라지기 때문에, 변동성 스마일 현상이 덜 나타나고, 옵션 만기가 가까울수록 변동성 스마일 현상이 크게 나타난다.

변동성에 확률과정을 입히다

금융 자산의 변동성은 상수가 아니라는 사실을 알게 되었다.

헐과 화이트는 기초자산과 변동성이 모두 위너 프로세스를 따르기는 하지만, 서로 간에는 독립적임을 가정하고 다음과 같은 모형을 제시했다.

\(a\) : 평균으로 회귀하는 속도를 나타내는 계수

\(\vec{V}\): 장기 평균 변동성

\(V\): 현재의 변동성

주가 모델은 앞서 배운 모델과 동일하다. 변동성 모델은 장기 평균 변동성이라는 것이 존재해 현재의 변동성이 크거나 작을 경우 장기 평균 변동성으로 회귀하려는 속성을 가지며, \(a\) 만큼의 속도로 장기 평균 변동성에 수렴한다는 모델이다.

헐과 화이트는 이 모델을 이용해 블랙숄즈 모형이 등가격에서는 옵션가격이 과대 계산되고, 외가격과 내가격에서는 과소 계산된다는 사실을 밝혀냄으로써 변동성 스마일 성질을 이론적으로 증명했다.

실제로 이러한 변동성의 불일치를 이용해 수익을 추구하는 투자자들이 상당히 많다. 이것이 유명한 ‘Buy Low Sell High’ 법칙인데, 내재변동성이 낮은 옵션을 매수하고, 내재변동성이 높은 옵션을 매도함으로써 수익을 추구하는 전략이다.

많은 투자가들이 블랙숄즈 모형을 이용해 옵션가치를 평가하고 있다는 사실과 더불어 블랙숄즈 모형의 한계를 이용해 수익을 창출하려는 세력이 시장에 공존하고 있으며, 따라서 시장은 효율적이지 않음을 증명하는 것이라고도 할 수 있다. 즉 실제 시장에는 철저한 분석과 정확한 모델을 이용한다면 수익을 창출할 가능성이 아주 높은 정보의 비대칭성이 존재하고 있는 것이다.

2008년 금융위기와 통화스왑의 마법

한국 경제는 대서양 앙쪽에서 수많은 경제적 희생자가 나오는 동안에도 별다른 충격 없이 슬기롭게 헤쳐나가게 된다. 어떻게 이러한 위기 극복이 가능했을까?

여러 가지 이유가 있겠지만, 통화스왑이 위기 극복에 중요한 역할을 했음은 자명한 사실이다. 급속한 외국 투자자본의 이탈로부터 원화가치를 안정적으로 유지하기 위해 한국 정보눈 미·중·일 3개국과 적절한 타이밍에 통화스왑을 체결하여 외국 자본 이탈로 인한 원화가치 급락을 완화했다. 그렇지 않았다면 원화가치가 급락하여 제2의 외환위기가 닥쳤을지도 모른다.

이처럼 통화스왑은 필요한 시기에 필요한 외화를 확보함으로써, 환 리스크를 헤지하는 데 유용한 도구로 사용되었다.

독도 영유권 문제와 한일 통화스왑

일본의 우경화와 독도 영유권에서 비롯된 문제로 2015년 2월 만기와 함께 한일 통화스왑이 종료되었다.

한일 통화스왑은 1999년 6월 체결되었다. IMF 외환위기를 겪으면서 갑작스런 글로벌 경제 상황 변화로 외화가 썰물처럼 빠져나간다면, 제 2의 외환위기가 올 수도 있다는 점을 우려하고 었었기 때문이다.

일본은 왜 통화스왑을 수용했을까

일본이 두려워했던 것은 외환 유동성 위기가 아니라 한국의 자동차와 전자제품이었다. 만약 한국에 달러가 부족해서 원화가치가 급락하기라도 하면 한국산 자동차와 전자제품은 해외에서 그만큼 싼 가격에 팔릴 것이며, 이는 곧바로 토요타, 소니 등 일본 주력 제조업체에 심각한 타격을 줄 수밖에 없기 때문이었다.

이처럼 금융공학은 단순히 금융시장에서 만들어내는 이익 관점뿐만 아니라, 실물경제 전반에 미치는 영향을 종합적으로 고려해야 하는 만큼, 파생상품 가격을 계산해내는 퀀트들에게만 맡겨둘 분야는 아니다.

통화스왑을 활용한 헤게모니 전쟁

통화스왑은 영국 정부가 자국 자본이 외국으로 유출되는 것을 방지하기 위해 외환거래에 세금을 부과한 것이 시발점이 되었다. 영국 내 회사들은 외환거래를 하지 않고도 외환거래를 한 것과 같은 효과를 내는 금융거래 기법을 개발하기 시작했고, 이것이 통화스왑의 시초가 되었다.

40여 년이 지난 지금 통화스왑은 성격이 완전히 달라졌다. 환 거래와 동일한 효과를 내기 위한 본질적인 금융거래에서 외환위기에 대비한 안전장치로, 그리고 이제는 자국통화의 국제화와 정치적 헤게모니 확대를 위해 광범위하게 활용되고 있다. 정치적 헤게모니 장악을 위한 통화스왑 활용은 중국이 대표적이라 할 수 있다.

통화스왑 가치는 어떻게 계산되나

양국의 이자율, 환율, 환 변동성이 통화스왑 가치를 평가하는 외생변수다.

통화스왑은 거래 개시와 함께 원금이 교환되고 거래기간 동안은 이자만 교환되다가, 거래 종료와 함께 다시 원금의 재교환이 이루어지는 방식이 일반적이다.

다음은 한국 기업의 미국 자회사가 100만 달러가 필요해 미국 달러화에 대한 스왑거래를 체결한 가상 사례다.

1. 거래 개시와 함께 원금의 교환(환율 1,200원 가정)

   원화	달러화
   -12억 원	+100만 달러

   한국 기업이 미국 달러화에 대한 스왑거래 ①

   
   

   즉 원화 12억 원어치 채권을 발행하고 100만 달러어치 채권을 구입한 것과 같은 형태가 된다.

2. 거래기간 동안 이자의 교환(연간 기준)

   원화	달러화
   +1억 2,000만 원	-5만 달러

   한국 기업이 미국 달러화에 대한 스왑거래 ②

   
   

   거래 이자율이 한국은 10%, 미국은 5%라 가정할 때, 한국 회사는 매년 5만 달러씩 이자를 지불하고, 1억 2000만 원씩 이자를 받는다.

3. 거래 종료와 함께 이자와 원금의 교환

   원화	달러화
   +13억 2,000만 원	-105만 달러

   한국 기업이 미국 달러화에 대한 스왑거래 ③

   
   

   거래 종료와 함께 한국 회사는 기 발행한 채권의 액면가 12억 원과 연이자 1억 2,000만 원을 지급받고, 상대방이 발행한 미국 채권 100만 달러와 이자 5만 달러를 지불하게 된다.

조금 난이도가 있는 통화스왑 거래

회사 A와 B가 있고, 회사 A는 스털링이 필요하고 회사 B는 달러가 필요한 상황

회사 A는 자금조달에 있어서 절대우위에 있고, B는 스털링에 대해 비교우위가 있다. 이때 회사 A는 달러를 대출받고 B는 스털링을 대출받은 뒤 통화스왑 거래를 하면, 순수차익이 발생하고 이득을 나누어 가질 수 있다.

따라서 스왑거래를 통해 좀 더 낮은 비용으로 자금을 조달할 수 있게 된다.

이자율스왑

2007년 ‘KB스왑연계 아파트 담보대출’ 사례 설명

이자율스왑은 그 자체로서는 고정금리를 원하는 고객과 변동금리를 원하는 고객 간 거래를 성사시켜 쌍방 모두가 이익이 되게끔 하는 긍정적 면이 있음에도 불구하고, 정확한 정보 전달의 문제로 인해 문제 발생의 소지가 있는 것 또한 사실이다.

이자율스왑(Interest Rate Swap)은 ‘투자자 A는 B에게 고정금리를 지불하고, 투자자 B는 투자자 A에게 변동금리를 지불하는 식의 금융거래’다. 이렇게 변동금리와 고정금리를 서로 맞바꾸게 되면 비교우위와 이자율 리스크 관리라는 두 마리 토끼를 다 잡을 수 있게 된다.

만일 한 은행이 변동금리로 아파트 담보대출을 내줬는데 이자율 리스크가 우려되어 고정금리로 변환코자 하고, 다른 한 은행은 단기자금 운영 측면에서 변동금리를 선호한다고 하자. 이때 두 당사자들은 시장의 공정가격을 산출해 스왑거래를 체결할 수 있다. 이것이 이자율스왑이 가지고 있는 이자율 리스크 관리의 속성이다.

다음 표를 보자.

(리보는 시장의 단기 변동금리의 기준이 되는 금리이고, bp는 베이시스 포인트(basis point)의 약자로서 100bp는 1%다.)

회사 A는 회사 B와 비교하여 자본 조달에 절대우위에 있다. 고정금리, 변동금리 모두 더 낮은 이자율로 자금 조달이 가능하다. 회사 B는 절대열위에 있지만, 변동금리 조달에 있어 비교우위를 갖는다. 회사 A가 변동금리로 대출받고자 하고 회사 B가 고정금리로 대출받고자 한다면 이자율스왑 시 양쪽 모두 이득을 얻을 수 있다.

서로 이자율스왑을 함으로써 얻을 수 있는 순수 차익은 0.8% 이다. 만약 회사 B가 7% 고정금리로 대출을 받는다면 1.8%(8.8% - 7%) 만큼 차익이 생기고, 회사 A가 리보+150bp 변동금리로 대출을 받는다면 -1.0% 만큼 차익이 생긴다. 따라서 스왑을 함으로써 만들어질 수 있는 총 순수차익은 1.8% - 1.0% = 0.8% 이고, 두 회사 모두 이익을 얻을 수 있는 형태로 계약 조건이 정해져야 한다.

0.8% 순수 차익을 양쪽 회사가 동일하게 나눠 0.4%씩 차익을 나눠 갖고자 한다면 계약 조건은 다음과 같이 된다.

• A 회사

  고정금리 7%로 자금을 조달한다. 그리고 리보 금리(기준 변동금리)를 B 회사에 보낸다.

  A 회사가 변동 금리로 자금을 조달한다면 리보+0.5% 금리로 조달할 수 있었다. 회사 B와 이자율스왑으로 얻을 수 있는 차익은 0.4% 이므로 결과적으로 리보+0.1% 금리로 자금을 조달할 수 있어야 한다. 그러므로 B 회사로부터 6.9%의 이자를 받는다.

  지출: (7% + 리보)

  수입: 6.9%

  결과: - (리보+0.1%)

• B 회사

  리보+1.5% 로 자금을 조달한다. 그리고 변동하는 리보 금리에 해당하는 이자를 회사 A로부터 받았다. 그러므로 1.5%로 자금을 조달한 상태가 되고, 고정금리 자금 조달 비용 8.8% 와 비교하면 7.3%(=8.8% - 1.5%)까지는 A 회사에 이자를 지급하더라도 손해는 아니다. 순수차익 0.4%를 남기고 6.9% 만큼 A 회사로 보낸다. 최종적으로 6.9% + 1.5% = 8.4% 고정 금리로 자금을 조달했다.

  지출: (리보+1.5% + 6.9%)

  수입: 리보

  결과: - (1.5% + 6.9%)

일반적인 경우 회사 간 서로 자금 조달 비용이 얼마인지 파악하기 어렵다. 그러므로 중간에 은행같이 두 회사를 중개해주는 역할을 하는 중개회사가 포함되는데, 각 회사는 중개회사 수수료를 제외한 차익을 얻을 수 있다. 만약 중개수수료가 0.2% 라고 가정하면 순수차익은 0.6%가 되고 이에 따라 결과가 수정된다.

글로벌 채권시장 규모는 2012년 3월 기준, 약 100조 달러로 당시 주식시장 50조 달러 수준의 두 배에 달하는 금융시장이다. 2022년 말 기준 글로벌 채권시장 규모는 133조 달러, 2023년 2분기 기준 주식시장 규모는 109조 달러라고 한다. 이전보다 범위는 좁아졌지만 채권시장 규모가 주식시장에 비해 더 큰 것은 확실하다.

굽은 소나무가 선산을 지킨다는 말이 있듯이, 아무도 관심 갖지 않는 채권을 제대로 알 때 진정한 고수의 반열에 오를 것이다.

채권이라는 분산투자 대상을 잘 활용한다면 노출된 리스크 대비 안정적인 수익을 얻을 기회가 훨씬 많아진다.

주식으로 돈을 벌면 자동으로 세금을 떼가지만, 채권에는 세금 혜택이 주어지는 경우가 많다.

두산 인프라코어 영구채는 자본인가, 부채인가

영구채는 ‘영구히 일정액이 지불되는 채권’을 말하며 미래 특정 시점에 상환 의무가 명백히 존재하지 않는 채권이다.

국제 회계기준 IFRS에 따르면 부채는 ‘과거에 발생했으며 경제적 효익을 갖는 자원이 기업으로부터 유출될 것으로 기대되는 현재의 의무’로 정의하고, 이 정의에서 벗어나는 모든 것을 ‘자본’으로 분류한다.

영구채는 미래 특정 시점에 상환 의무가 명백히 존재하지 않으므로 부채의 정의에 포함되지 않는다.

이를 둘러싸고 2012년 금융위원회와 금융감독원의 이견이 팽팽했다. 금융위는 영구채가 실질적으로 부채에 가까우며 영구채가 자본항목으로 허용되면 부실기업이 부채비율이 낮은 것처럼 눈속임하기 위해 악용될 가능성이 높기 때문에 부채로 봐야 한다는 입장을 내놓았다.

이에 회계기준원은 2013년 5월 15일, 영구채를 자본으로 인정한다는 국제회계기준위원회의 해석을 발표하게 되고, 불과 두 달만에 포스코, SK텔레콤, 대한항공이 줄줄이 영구채를 발행했다. 주식을 발행해 자금을 조달하는 것에 비해 조달금리가 싸고, 지배구조 변경 리스크를 걱정하지 않아도 되는 장점이 있기 때문이다.

영구채가 자본으로 인정된다는 것은 이제 더 이상 부채비율만 보고 기업의 재무건정성을 판단해서는 안 되는 세상이 되었음을 의미한다.

채권 워밍업

채권이란 이자와 원금을 미래의 일정 시점에 지불할 것을 보장해주는 확정이자부 유가증권이다. 정부, 지자체, 특수법인과 상법상의 주식회사가 투자가들로부터 장기간 많은 자금을 일시에 대량으로 조달하기 위해 발행하는 일종의 차용증서인 셈이다. 채권은 발행 시에 채무자가 지급해야 하는 이자와 상환금액이 확정되어 있거나 또는 그 기준이 확정되어 있는 것이 특징이다. 주식과 달리 채권 발행자는 수익의 발생여부와 상관없이 이자를 지급해야 한다.

채권의 종류

1. 정부채

   중앙정부가 발행한 채권. 가장 신용도가 높다. T-Bill과 T-Bond는 무위험 이자율 채권으로 간주된다.

2. 지방자치단체 채권

   미국에선 ‘뮤니(Muni)’라고 부른다. 한국에서는 지방채라고 한다. 세금 감면을 해주는 경우도 있다.

3. 회사채

   일반 회사가 발행한 채권이다.

이 외에도 브래디 채권, 저당담보부채권(MBS), 저당담보부채권의 일반적인 형태인 자산담보부채권(ABS) 등이 있다.

채권의 기본 상품들

채권상품도 옵션과 마찬가지로 무수히 많은 조합을 만들어낼 수 있다. 수식이 깨진다면 클릭

1. 확정이자부 채권

   일정 금액의 이자를 만기까지 받다가 만기에 원금을 받는 채권이다. 채권 이자는 쿠폰이라고 한다. \[P = \frac{C_1}{(1+r)^1} + \frac{C_2}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{(C_n + FV)}{(1+r)^n}\]

   여기서 \(C_i\) 는 \(i\) 기에 받는 이자(coupon payment), \(r\) 은 이자율 \(FV\) 는 액면가(face value)다.

2. 무이표채

   만기일이 되어서야 원금과 이자가 한꺼번에 지불되는 채권이다. \[P = \frac{(C_n + FV)}{(1 + r)^n}\]

3. 연금

   약정한 금액이 일정한 기간 동안 계속해서 지불되는 채권이다. 확정이자부 채권과 다른 점은 액면가가 만기에 지불되지 않고 일정 기간 동안 고르게 분배되어 지불된다는 것이다.

4. 변동이자부 채권

   시장의 이자율에 따라 이자지급이 달라지는 채권이다.

5. 구조화 채권

   투자자의 취향에 맞게 개발된 ‘주문형’ 또는 ‘맞춤형’ 채권을 말한다.

6. 옵션이 내재된 채권(Option-embedded Bond)

   채권 고유 특징 외에 ‘옵션’이 포함된 채권을 말한다. 위에서 언급된 채권들은 ‘Option-free Bond’이다.

   콜가능채권(Callable bond), 풋가능채권(Puttable bond)이 있다.

   • 콜가능채권: 채권 발행자가 나중에 시장 상황이 자신에게 유리하게 되었을 경우 ‘되살 수 있는 권리’가 주어지는 채권이다. 콜가능채권은 되살 수 있는 권리만큼을 발행자가 부담해야 하므로, 콜 권리가 없는 일반 채권보다 낮은 가격에 거래된다. 채권가격은 다음과 같이 계산된다.

     콜가능채권 가격 = 옵션이 없는 채권 - 콜 가격

   • 풋가능채권: 채권 투자자가 나중에 시장 상황에 따라 ‘발행자에게 약정된 가격에 되팔 수 있는 권리’가 있는 채권이다. 이 경우 콜가능채권과는 반대로 옵션이 없는 채권보다 비싸진다.

     풋가능채권 가격 = 옵션이 없는 채권 + 풋 가격

7. 전환사채

   일정 기간이 지나면 채권 구입자의 청구가 있을 때 미리 정해진 조건(전환가격, 전환기간 등)대로 발행회사의 주식으로 바꿀 수 있는 권리가 부여된 채권이다.

   전환 전에는 회사채와 유사하지만, 전환 이후에는 주식으로 전환되므로 채권의 성격을 잃어버리고 일반 주식으로 형태가 변한다.

   투자자 입장에서 주가가 오를 경우 전환권을 행사(전환기간 동안만 가능)해 주가 상승에 따른 시세차익을 얻을 수 있고, 그렇지 않은 경우에도 채권 보유에 따른 확정 이자수익을 보장받을 수 있다.

   기업 입장에서 보면 재무구조 개선 효과와 낮은 금리로 안정적인 장기자금을 조달할 수 있다는 장점이 있다.

   대부분의 전환사채는 콜가능채권의 성격을 가지고 있다. 기업이 일정한 가격에 전환사채를 되살 수 있다는 것을 의미한다. 만약 기업이 전환사채를 다시 사들인다면, 투자자는 채권을 주식으로 전환하거나 되파는 것 중에서 한 가지를 선택해야 한다.

   동일한 신용도를 가지고 있는 일반 채권의 시장 가격과 전환사채 가격 간의 차이를 부채 프리미엄이라 하고, 지금 당장 전환사채를 주식화했을 경우의 가치와 현 주가의 차이를 전환 프리미엄이라고 한다.

8. 영구채

   영구히 일정액이 지불되는 채권을 말한다. 평생 지급받는 연금이 이에 해당한다. 영구채 발행은 재무건전성과 깊은 관련이 있다.

채권가격은 어떻게 정해지는가

부채 또는 채권의 가격은 미래에 받게 될 금액이 현재가치로는 얼마인지라는 단순한 개념으로 해결된다. 이렇게 미래 현금 흐름에 대한 현재가치를 구하는 방법을 순현재가치법(NPV, Net Present Value)이라 하고 다음과 같이 계산한다. \[P = \frac{C_1}{(1+r)^1} + \frac{C_2}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{(C_n + FV)}{(1+r)^n}\]

모든 할인율이 동일한 이자율로 구성되어 있다. 즉 미래의 모든 현금 흐름이 현재 시장에서 거래되는 이자율로 할인되는 것이다.

채권의 가격과 이자율은 역의 관계를 지닌다는 것을 알 수 있다. 그리고 그 관계는 선형이 아니라 비선형이 된다. 이자율과 채권의 관계가 \(P = \frac{C}{(1+r)}\) 의 형태이기 때문이다.

‘언제까지 내가 빌려준 돈을 이자까지 쳐서 다 받을 수 있는지’는 채권에서 중요하다. 일반적으로 만기가 언제인지만 알면 되는데, 채권을 이용한 ‘거래’를 하기 위해서는 듀레이션이라는 개념을 알아둬야 한다. 한국에서는 듀레이션을 만기와 동일하게 사용하는 경우가 흔한데, 그럴 경우 문제가 생길 수 있다.

듀레이션을 정확히 이해하자

듀레이션은 만기가 아니다. 채권을 산 경우 투자 원금의 ‘평균 회수 기간‘이 듀레이션이다. 일반적으로 이자(쿠폰)이 존재하므로 만기보다는 작다. 무이표채인 경우 듀레이션과 만기는 일치한다.

듀레이션은 사실 두 가지 의미로 쓰인다. 하나는 방금 언급한 것과 같이 만기까지 현금 흐름의 가중평균 기간이고, 두 번째는 이자율 변동에 따른 채권가격의 민감도를 의미한다. 기하학적으로는 채권가격과 이자율 그래프의 접선의 기울기다. 즉 듀레이션이 크다는 말은 ‘이자율 변동에 따라 채권가격이 민감하게 반응한다.’는 의미가 된다. 누군가 듀레이션이 얼마인지를 물어본다면, 반드시 기간을 원하는지 가격 민감도를 원하는지 되물어봐야 한다.

이자율 기간구조

채권가격을 결정하는 데 가장 중요한 변수는 이자율이다.

이자율도 주가와 마찬가지로 매일 바뀌는데, 어떻게 현재의 이자율이 미래에도 계속 적용된다고 보고 가격을 매길 수 있을까?

이자율 기간구조는 ‘만기까지 이자율이 어떤 패턴으로 움직일 것인지를 보여주는 것’이다. 이를 이해하기 위해 먼저 만기이자율(Yield to Maturity)을 알아야 한다. 만기이자율은 내부이자율(IRR)과 동일한 개념이다. 즉 미래의 현금 흐름과 현재 그 상품가격 간의 관계를 통해 계산되는 이자율이다.

이자율 기간구조를 가장 쉽게 정의한다면, 만기가 되어서야 원금과이자를 한꺼번에 주는 채권(무이표채)의 만기이자율이다. 예를 들어 1년, 2년, 3년 만기 무이표채 이자율이 각각 5%, 6%, 7%라고 하면, 이 5%, 6%, 7%로 이루어진 패턴을 이자율 기간구조라고 한다.

이자율 기간구조는 어떤 형태를 띨까

만기까지 이자율이 변하는 형태를 나타내는 이자율 기간구조는 채권상품에 따라 다음과 같이 여러 형태로 나타날 수 있다.

가장 일반적이고 정상적인 형태는 만기가 길수록 이자율이 올라가는 형태다.

그런데 가끔은 장기 이자율이 단기 이자율보다 낮은 경우가 발생한다. 미래에 경기가 침체할 것으로 예상하는 경우가 특히 그렇다. 경기가 어려워지면 기업들의 투자가 위축되어 자금 수요가 줄게되고(채권 발행이 줄어들고) 금리는 하락하게 된다. 미연준도 장기 이자율이 단기 이자율보다 낮으면 의미 있는 경기후퇴 징조로 판단하고 있다.

수요공급의 법칙 측면에서도 경기가 침체할 것으로 예상되면 주식보다는 안전한 채권에 투자하려는 성향이 강해지게 되고, 장기 채권에 대한 수요초과가 발생하면서 장기 이자율은 낮아지게 된다. (채권가격은 상승하나 쿠폰은 고정되어 있으므로 자연스럽게 채권수익률 감소)

하지만 시장은 때때로 그렇게 쉽게 설명되지는 않는다. 중기 이자율은 높은데, 장기 이자율은 오히려 낮아지는 이상한 형태가 나타나기도 한다. 중간에 경기 변동이 있을 것으로 예상되는 경우에 이런 형태가 발생한다.

도무지 경기가 어떻게 될지 모를 때에는 단기 이자율과 장기 이자율이 같은 형태가 나타나기도 한다.

이자율 예측과 관련된 이론

어떤 이론을 근거로 여러 가지 형태로 나타나는 이자율을 예측할 수 있을까?

1. 기대 이론

   1896년 피셔가 제안한 이론으로 미래의 이자율은 투자자들의 기대에 근거한다는 이론이다.

2. 시장 세분화 이론

   1957년 컬버트슨이 제안한 이론으로 이자율의 형태는 수요와 공급에 의존한다는 이론이다.

3. 유동성 선호 이론

   1939년 힉스가 제안한 이론으로 단기 채권의 경우 유동성이 풍부해 낮은 이자를 감수한다는 이론이다.

4. 헤징 압박 이론

   유동성 선호 이론과 반대되는 이론이다. 장기 이자율은 만기까지 이자율을 고정시켜줌으로써 시장 상황의 변화에 관계없이 안정적인 수익을 얻을 수 있기 때문에 장기 이자율이 더 낮아야 한다는 이론이다.

사회 과학이라는 특성 상 닫힌 해(하나의 정답)가 존재하지는 않는다.

금융공학의 마지막 관문, 이자율 파생상품

이자율 파생상품이란 파생상품의 가치가 이자율 변동에 근거하는 상품을 말한다.

이자율 자체에 대한 분석이 주식이나 환율보다 훨씬 어렵고 복잡하다. 그 이유는 다음과 같다.

1. 이자율은 채권 만기까지 독특한 이자율 기간구조를 갖는다.

2. 확률적으로 변하는 이자율 패턴은 다른 금융자산(주식이나 환율 등)보다 훨씬 복잡하다.

3. 같은 이자율일지라도 만기에 따라서 변동성이 서로 다르다.

4. 이자율은 옵션의 이익 패턴을 계산하기 위한 수단으로서뿐만 아니라, 채권의 현재가치를 계산하는 데도 동시에 쓰여야 한다.

하지만 이자율 파생상품은 시장이 복잡한 만큼 효율성이 떨어지기 때문에 그만큼 수익 창출의 기회는 커진다.

블랙숄즈 공식을 이용한 채권옵션가격 계산

가장 쉽고 널리 쓰이는 채권옵션가격 계산 방법은 블랙숄즈 모형을 변형한 ‘블랙의 공식’이다. 개념적으로는 블랙숄즈 공식과 같다. 블랙의 공식은 시장에서 활발히 이용되고 있기는 하나 다음과 같은 명백한 한계를 지니고 있다.

1. 채권가격의 변동성이 상수라고 가정한다.

   만기에 따라서 변동성은 달라진다.

2. 채권가격이 로그정규분포를 따른다고 가정한다.

   로그정규분포의 상한은 없다. 채권가격이 이론적 최대가치인 액면가와 이자를 모두 합한 금액보다 더 커질 수 있다.

3. 이자율이 만기까지 일정하다.

알고 보면 재미있는 이자율 모형

블랙의 공식이 갖는 문제점을 해결하기 위해 다양한 이자율 모형이 제안되었다.

1. 랜들만-바터 모델

   이자율이 확률과정을 따른다는 사실을 감안한 모델을 제시했다. \[dr = \mu r dt + \sigma r dz\]

   여기서 \(dr\) 은 이자율 변동, \(\mu r dt\) 는 시간 변화에 따른 평균 이자율, \(\sigma r dz\) 는 브라운 운동을 따르는 변동성을 의미한다.

2. 베시첵(Vasicek) 모델

   랜들만-바터 모델은 이자율이 장기평균이자율로 수렴한다는 속성을 간과했다. 베시첵은 이를 수정한 모델을 제안한다. \[dr = a(\bar{r}-r)dt + \sigma dz\]

   여기서 \(a\) 는 장기평균이자율(\(\bar{r}\))로 수렴하는 속도다.

   이자율이 올라가면 기업은 대출을 덜 받게 되고, 이자로 먹고 사는 은행은 이자율을 낮춰서 대출을 늘리려고 한다. 이자율이 낮아지면 이자 부담이 작아져 기업은 대출을 더 받고자 하고, 은행은 이자율을 높여도 수요량이 많으니 이자율은 상승하게 된다. 이러한 현상으로 인해, 이자율은 장기적으로 장기평균이자율로 수렴하려는 속성을 지니게 된다.

3. CIR(콕스-잉거솔-로스) 모델

   베시첵 모델은 이자율이 극단적인 경우에 제로 이하로 내려갈 수 있다는 단점이 존재한다. 이를 극복한 모델이 CIR 모델이다. \[dr = a(b-r)dt + \sigma\sqrt{r}dz\]

   변동성이 이자율의 제곱근(\(\sqrt{r}\))에 비례한다고 가정함으로써 이자율이 제로 이하로 떨어지는 현상을 방지해준다.

4. 호 앤 리(Ho and Lee) 모델

   위에 설명한 모델들은 모두 시시각각 변하는 현재의 이자율을 지속적으로 반영하지 못하는 단점이 있다. \[dr = \theta(t)dt + \sigma dz\]

   시간함수 \(\theta(t)\) 를 도입해 자동적으로 현재의 이자율을 모형에 적용했다.

5. 헐 앤 화이트(Hull and White) 모델

   호 앤 리 모델은 이자율의 평균회귀 요인을 고려하지 않았다. 이 부분을 해결한 모델이 헐 앤 화이트 모델이다. \[dr = (\theta(t) - ar)dt + \sigma dz\]

이자율 모형은 이외에도 수없이 존재하며 지금도 만들어지고 있다. 블랙-더만-토이 모델, 블랙-카라신스키 모델 등이 있고, 미래에도 합리적인 모델들이 수없이 제안될 것으로 기대된다.

이자율 캡, 플루어, 칼라

캡(Cap)은 이자율이 일정 값을 넘어서면 그 차액을 돌려받는 옵션이다.

반면 플루어(Floor)는 이자율이 일정 값 이하로 내려가면 그 차액을 돌려받는 옵션이다.

한편 칼라(Collar)는 이자율이 일정 구간 안에 있는 것을 보장받을 수 있도록 만들어진 상품이다.

이자율 캡과 플루어

분기별로 연 6%의 이자를 받는 채권에 투자한 사람이 있다고 가정하자. 항상 6%의 이자를 받는 그는 이자율이 내려갈 경우에 시장 이자율보다 더 높은 이자를 받도록 되어 있기 때문에 이익을 보게 된다. 하지만 이자율이 6%를 넘으면, 손실에 노출된다.

이러한 경우 투자자가 이자율 상승에 대해 자신의 수익률을 보호하고 싶다면 이자율 캡 거래를 하면 된다. 즉 이자율에 대해 콜옵션을 매수하는 셈이다.

만약 위 채권에 투자한 투자자가 캡 이율이 6%인 이자율 캡을 보유하고 있고, 리셋 날짜(reset date)에 시장 이자율이 8%가 된다면 연 2%만큼의 금액을 이자율 캡을 매도한 측으로부터 수령하게 된다. 이 경우 기간이 3개월이므로 받게 되는 금액은 다음과 같다. \[2\% \times \frac{3}{12} \times 1,000,000 = \$5,000\]

이자율 플루어는 이자율 캡과 반대로 금리가 내려갈 경우의 손실을 방지한다는 점만 다를 뿐 개념은 캡과 같다.

이자율 칼라

칼라는 이자율 캡을 매수하고 플루어를 매도함으로써 만들어진다.

이자율이 캡 이자율보다 높으면 그 차액을 돌려받을 수 있고, 이자율이 플루어 이자율보다 낮으면 그 차액을 돌려줌으로써 이자율 상승에 따른 손실을 보호받고 이자율 하락에 따른 이득을 포기하는 것이다.

따라서 칼라 가격은 다음과 같다.

이것을 이자율 풋-콜 패리티(Interest rate Put-Call Parity)라고 한다. 아주 저렴한 가격으로 이자율 상승에 따른 손실을 보호할 수 있다.

캡 가격과 플루어 가격을 동일하게 맞춰서 만든 칼라를 제로 코스트 칼라라고 하며, 시장에서 활발히 거래되는 파생상품 전략 중 하나다.

VAR(Value At Risk)는 리스크 관리 방법 중에서 가장 잘 알려진 지표다.

리스크 관리 핵심지표 VAR

VAR이란 ‘정해진 신뢰수준하에서 나타날 수 있는 최대 손실’로 정의된다. 다른 말로 표현하자만, ‘앞으로 X일 동안 V원 이상의 손실이 발생하지 않을 것이라고 XX퍼센트 확률로 기대한다.’라고 표현할 수 있다.

P&G, 리스크 관리와 VAR에 무지한 직관적 결정이 부른 화근

1993년 BT은행과 P&G간 스왑거래 사례를 통해 리스크 관리가 왜 중요한지 설명한다.

캘리포니아 오렌지 카운티, VAR만 썼더라도···

1994월 12월, 미국 캘리포니아 오렌지 카운티가 16억 달러의 투자 손실로 인해 파산 절차에 들어가게 된 사례를 통해 리스크 관리의 중요성을 설명한다.

정규분포 가정을 통한 VAR 구하기

주가수익률은 정규분포를 따르므로 주가수익률의 평균과 표준편차를 알면 VAR을 쉽게 구할 수 있다.

VAR은 앞으로 일어날 모든 가능성을 나타내주는 것은 아니다. 그럼에도 불구하고 확률적으로 향후 일어날 리스크를 금액으로 표현했다는 점 때문에 획기적인 아이디어로 받아들여졌다.

‘가능한 손실을 수치화’함으로써, 이자율이든 통화스왑이든 어떤 비즈니스에 대해서도 일관되고 비교 가능한 수치를 제공한다는 장점이 있다.

VAR 계산은 자산이나 포트폴리오가 리스크 기간 동안 변하지 않는다는 가정에 근거함을 주의해야한다.

백 테스트와 스트레스 테스트

VAR을 이용해서 리스크 관리를 할 경우, VAR이 얼마나 상황을 잘 설명해주는지 살펴보기 위해 과거 데이터를 이용해 검증해볼 필요가 있는데, 이러한 방법을 백 테스트라고 한다.

또한 정상적인 상황에서는 잘 작동하나, 과거 데이터에 기반하기 때문에 극단적인 상황에서는 유용하지 못하다. 이를 보완하기 위해 스트레스 테스트가 필요한 데, 스트레스 테스트는 리스크 관리자의 직관이나 경험에 비춰 미래에 발생할지도 모르는 상황에 대해 시나리오를 구성하거나 스트레스 모델을 구축함으로써 시현할 수 있다. 다만 방법론이 지극히 주관적이므로 합리적인 설명이 결여될 수 있다는 점은 문제다.

분포함수의 시작, 베르누이 시행

시행의 결과값이 딱 두 가지만 존재하는 경우

베르누이 시행을 여러 차례 반복한 이항분포

베르누이 시행을 여러 번 시행해서 생성되는 확률분포

이항분포와 정규분포

이항분포를 따르는 확률변수가 있을때 시행 횟수가 무한히 반복되면, 이항분포 확률변수의 평균은 정규분포를 따른다.

로그를 취해주면 정규분포가 되는 함수, 로그정규분포

주가는 최소 0 아니면 무한대까지 가능하다. 정규분포는 음수가 가능하니 그대로 적용하기 어렵다. 지수 함수를 씌우면 어떨까?

정규분포에 지수함수를 씌운 분포가 로그정규분포이다.

시간이 포함된 정규분포, 브라운 운동

‘시간’이 흐르면 지수가 달라진다. 이런 시간의 문제를 풀기 위해 나온 이론이 브라운 운동이다.

브라운 운동은 주가지수처럼 시간에 따라 변하는 현상에 대해 특정 두 시점 간의 변화 정도가 정규분포를 따른다는 것이다. 즉 ‘주식가격의 평균은 시간의 흐름만큼 변하며, 주식가격의 분산(변동성) 역시 시간의 흐름만큼 더 커진다.’는 상식을 수식으로 표현한 것에 불과하다. 수식이 깨진다면 클릭 \[\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}\]

여기서 \(\varepsilon\) 은 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 따르는 랜덤 워크라고 정의된다. 특정 구간의 주가 변화량이 다른 구간에서의 주가 변화량에 영향을 미치지 않는다는 가정하에 브라운 운동이 완성되었다.